Résumés de Cours du Baccalauréat (2BAC SX) : Le Guide Ultime pour l'Analyse et l'Algèbre
Par un professeur de Sc. Maths avec 15 ans d'expérience : stratégies, résumés ciblés, et erreurs à éviter pour viser l'excellence à l'examen national.
L'année du baccalauréat est un marathon, pas un sprint. Les chapitres d'analyse (étude de fonctions, suites, intégrales) et d'algèbre (nombres complexes, arithmétique) constituent le cœur du programme de mathématiques en 2ème année BAC Sciences Mathématiques. Leur maîtrise ne dépend pas seulement de la compréhension, mais d'une révision stratégique et d'une pratique intensive. Dans l'examen national, la précision, la rapidité et la capacité à éviter les pièges classiques font toute la différence. Cet article n'est pas un simple résumé ; c'est une feuille de route, distillée de 15 ans d'expérience, pour vous aider à vous concentrer sur l'essentiel et à aborder l'épreuve avec la confiance d'un champion.
N'oubliez jamais la pondération : lors de l'examen national de 2023, la partie Analyse a représenté environ 65% de la note totale (13 points), tandis que l'Algèbre (Nombres Complexes et Arithmétique) en a constitué 35% (7 points). Votre temps de révision doit refléter cette réalité.
Partie 1 : L'Analyse - Le Cœur de l'Épreuve
La maîtrise de l'analyse est non négociable. Elle teste votre rigueur, votre capacité à enchaîner les étapes logiques et votre compréhension des concepts fondamentaux de limites, de continuité et de dérivation.
1.1 Résumé : Les Fonctions Numériques
L'étude de fonctions est la colonne vertébrale de l'analyse. Voici les points essentiels à maîtriser parfaitement.
| Concept | Points Clés à Mémoriser |
|---|---|
| Limites | Maîtrise des formes indéterminées ($0/0, \infty/\infty, 0 \times \infty, \infty - \infty$) et des techniques pour les lever (factorisation, conjugué, changement de variable, et surtout, les limites de référence). |
| Continuité | Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et son corollaire pour les fonctions strictement monotones (unicité de la solution). Savoir l'appliquer pour prouver l'existence de solutions à $f(x)=k$. |
| Dérivabilité | Lien direct entre le signe de $f'(x)$ et la monotonie de $f$. Savoir calculer les dérivées des fonctions composées et des fonctions réciproques ($f^{-1}$)'(y) = 1/f'(x). |
| Branches Infinies | Maîtrise de l'étude des branches infinies : asymptotes verticales, horizontales, obliques, et branches paraboliques. L'étude de $\lim f(x)/x$ est cruciale. |
1.2 Résumé : Dérivation et Calcul Intégral
Ces deux chapitres sont intrinsèquement liés. La maîtrise des formules de dérivation est la condition sine qua non pour réussir le calcul intégral.
| Type | Formules Essentielles |
|---|---|
| Dérivées | $(u^n)' = n u' u^{n-1}$, $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$, $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$, $(e^u)' = u'e^u$. |
| Primitives | Primitive de $u'u^n$ est $\frac{1}{n+1}u^{n+1}$. Primitive de $\frac{u'}{u}$ est $\ln|u|$. Primitive de $u'e^u$ est $e^u$. |
| Intégration par Parties | $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$. Le choix de $u$ et $v'$ est stratégique (penser à ALPES : Arc-tangente, Log, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus). |
1.3 Exercices Type Bac : Analyse
Exercice 1 : Étude de fonction (type National 2023)
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x - \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$.
1. Montrer que $f$ est une fonction impaire.
2. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter le résultat géométriquement.
3. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = 1 - \frac{2e^x}{(e^x+1)^2}$ et dresser le tableau de variations de $f$.
Voir la solution détaillée
- Imparité : On calcule $f(-x) = -x - \frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1} = -x - \frac{\frac{1}{e^x}-1}{\frac{1}{e^x}+1} = -x - \frac{1-e^x}{1+e^x} = -x + \frac{e^x-1}{e^x+1} = -(x - \frac{e^x-1}{e^x+1}) = -f(x)$. Donc $f$ est impaire.
- Limite : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{e^x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x(1 - e^{-x})}{e^x(1 + e^{-x})} = 1$. Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x-1) = +\infty$. Pour l'asymptote, on calcule $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (x-1)) = \lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{e^x-1}{e^x+1}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x+1} = 0$. La droite d'équation $y=x-1$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$.
- Dérivée : On utilise la dérivée de $\frac{u}{v}$. $f'(x) = 1 - \frac{e^x(e^x+1) - e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^2} = 1 - \frac{2e^x}{(e^x+1)^2}$. Pour le signe, $f'(x) = \frac{(e^x+1)^2 - 2e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{e^{2x}+2e^x+1-2e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{e^{2x}+1}{(e^x+1)^2} > 0$. Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Partie 2 : L'Algèbre - La Précision avant Tout
L'algèbre, notamment les nombres complexes, demande une grande rigueur de calcul et une bonne vision géométrique. C'est souvent ici que les points se gagnent ou se perdent sur des détails.
2.1 Résumé : Les Nombres Complexes
| Forme | Utilisation Principale |
|---|---|
| Algébrique ($z=a+ib$) | Addition, soustraction, résolution d'équations du second degré. |
| Trigonométrique ($z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$) | Multiplication, division, puissances (Formule de Moivre). |
| Exponentielle ($z=re^{i\theta}$) | Simplifie énormément les calculs de multiplication, division et puissances. Essentielle pour la linéarisation. |
2.2 Exercices Type Bac : Algèbre
Exercice 2 : Nombres Complexes (type National)
On considère l'équation $(E): z^2 - 4z + 8 = 0$.
1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$. Soient $z_1$ et $z_2$ les solutions avec $Im(z_1) > 0$.
2. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.
3. Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C d'affixes respectives $z_A=z_1$, $z_B=z_2$ et $z_C=4$. Montrer que le triangle ABC est isocèle rectangle en C.
Voir la solution détaillée
- Résolution de (E) : $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(8) = 16 - 32 = -16 = (4i)^2$. Les solutions sont $z = \frac{4 \pm 4i}{2}$. Donc $z_1 = 2+2i$ et $z_2 = 2-2i$.
- Forme trigonométrique : $|z_1| = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. $z_1 = 2\sqrt{2}(\frac{2}{2\sqrt{2}} + i\frac{2}{2\sqrt{2}}) = 2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$. Puisque $z_2 = \bar{z_1}$, alors $|z_2|=|z_1|=2\sqrt{2}$ et $arg(z_2) \equiv -arg(z_1) [2\pi]$. Donc $z_2 = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.
- Nature du triangle : On calcule les longueurs $CA = |z_A - z_C| = |2+2i - 4| = |-2+2i| = \sqrt{(-2)^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. $CB = |z_B - z_C| = |2-2i - 4| = |-2-2i| = \sqrt{(-2)^2+(-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Donc $CA=CB$, le triangle est isocèle en C. On calcule l'angle $(\vec{CA}, \vec{CB}) = arg(\frac{z_B-z_C}{z_A-z_C}) = arg(\frac{-2-2i}{-2+2i}) = arg(\frac{1+i}{1-i}) = arg(\frac{(1+i)^2}{2}) = arg(\frac{2i}{2}) = arg(i) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$. Le triangle est donc rectangle en C.
Les Erreurs "Fatales" à Éviter Absolument
- Dérivées incorrectes : Une erreur dans la dérivée de $u/v$ ou $\ln(u)$ fausse toute l'étude de fonction. Révisez vos formules !
- Signe de $f'(x)$ : Conclure trop vite que le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur sans vérifier le signe du dénominateur (surtout avec des carrés ou des exponentielles qui sont toujours positifs).
- TVI mal appliqué : Oublier de mentionner la continuité de la fonction est une erreur éliminatoire pour cette question.
- Calcul de module/argument : Une erreur de signe dans $a$ ou $b$ lors du calcul de $r = \sqrt{a^2+b^2}$ ou une mauvaise identification du quadrant pour l'argument.
- Formule de Moivre : Appliquer $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ sans s'assurer que le module est 1.
Plan de Révision : Les 30 Derniers Jours
| Période | Objectif | Actions Concrètes |
|---|---|---|
| Jours -30 à -15 | Consolidation des Cours | Relire tous les résumés de cours. Ficher toutes les formules et théorèmes. Faire 1 à 2 exercices d'application directe par chapitre. |
| Jours -14 à -4 | Entraînement Intensif | Faire au moins un sujet de Baccalauréat complet par jour. Chronométrez-vous. Identifiez les types d'exercices où vous perdez du temps. |
| Jours -3 à -1 | Révision Active & Repos | Ne faites plus de sujets complets. Relisez vos fiches, refaites uniquement les questions où vous aviez fait des erreurs. Reposez-vous bien la veille. |
