Théorème de Pythagore : 5 Exercices Types Corrigés
De la simple application à la résolution de problèmes complexes, maîtrisez ce théorème fondamental.
Le théorème de Pythagore est sans doute l'un des plus célèbres de l'histoire des mathématiques. Mais sa popularité cache parfois une mauvaise compréhension de ses deux usages principaux. Savoir quand utiliser le théorème direct pour calculer une longueur et quand utiliser sa réciproque pour prouver qu'un triangle est rectangle est la clé pour résoudre n'importe quel exercice. Dans ce guide complet, nous allons explorer 5 exercices de difficulté croissante, avec des solutions détaillées, pour faire de vous un expert du triangle rectangle.
Info Statistique Examen
Une analyse des examens locaux et régionaux des dernières années montre que des questions liées directement ou indirectement au théorème de Pythagore apparaissent dans près de 85% des épreuves. Sa maîtrise est donc non négociable !
Théorème Direct vs. Réciproque : Quand utiliser quoi ?
C'est l'erreur la plus commune. Voici une règle simple pour ne plus jamais se tromper.
Théorème Direct
Quand l'utiliser ?
Quand vous SAVEZ que le triangle est rectangle et que vous voulez CALCULER la longueur d'un côté manquant.
Hypothèse : "ABC est un triangle rectangle en A."
Conclusion : "Alors $AB^2 + AC^2 = BC^2$."
Réciproque du Théorème
Quand l'utiliser ?
Quand vous connaissez les longueurs des TROIS côtés et que vous voulez PROUVER que le triangle est rectangle.
Hypothèse : "On a $AB^2 + AC^2 = BC^2$."
Conclusion : "Alors le triangle ABC est rectangle en A."
Énoncé : Soit EFG un triangle rectangle en E, avec EF = 5 cm et EG = 12 cm. Calculez la longueur de l'hypoténuse [FG].
Solution détaillée :
- Analyse : On sait que le triangle est rectangle et on cherche une longueur. On utilise donc le théorème direct de Pythagore.
- Rédaction : Dans le triangle EFG rectangle en E, d'après le théorème de Pythagore direct, on a :
$EF^2 + EG^2 = FG^2$ - Calcul : On remplace par les valeurs connues :
$5^2 + 12^2 = FG^2$
$25 + 144 = FG^2$
$169 = FG^2$ - Conclusion : $FG = \sqrt{169} = 13$.
La longueur du segment [FG] est de 13 cm.
Énoncé : Soit IJK un triangle rectangle en I. On sait que l'hypoténuse [JK] mesure 25 cm et que le côté [IJ] mesure 7 cm. Calculez la longueur du côté [IK].
Solution détaillée :
- Analyse : Encore une fois, on sait que le triangle est rectangle et on cherche une longueur. On utilise le théorème direct. Attention, cette fois on ne calcule pas l'hypoténuse.
- Rédaction : Dans le triangle IJK rectangle en I, d'après le théorème de Pythagore direct, on a :
$IJ^2 + IK^2 = JK^2$ - Calcul : On remplace par les valeurs connues :
$7^2 + IK^2 = 25^2$
$49 + IK^2 = 625$
$IK^2 = 625 - 49$
$IK^2 = 576$ - Conclusion : $IK = \sqrt{576} = 24$.
La longueur du segment [IK] est de 24 cm.
Énoncé : Soit LMN un triangle tel que LM = 9 cm, MN = 12 cm, et LN = 15 cm. Le triangle LMN est-il rectangle ? Si oui, en quel point ?
Solution détaillée :
- Analyse : On connaît les trois longueurs et on veut prouver si le triangle est rectangle. On utilise donc la réciproque du théorème de Pythagore.
- Calculs séparés : On calcule d'une part le carré du plus long côté, et d'autre part la somme des carrés des deux autres côtés.
- Carré du plus long côté : $LN^2 = 15^2 = 225$.
- Somme des carrés des autres côtés : $LM^2 + MN^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. - Comparaison : On constate que $LN^2 = LM^2 + MN^2$.
- Conclusion : Puisque l'égalité de Pythagore est vérifiée, alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle LMN est rectangle en M (le sommet opposé à l'hypoténuse [LN]).
Énoncé : Une échelle de 5 mètres de long est posée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 1,4 mètres du bas du mur. À quelle hauteur sur le mur l'échelle arrive-t-elle ?
Solution détaillée :
- Modélisation : Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. L'échelle est l'hypoténuse. On nomme A le point où l'échelle touche le mur, B le pied du mur, et C le pied de l'échelle. Le triangle ABC est rectangle en B.
- Données : On a AC = 5 m (longueur de l'échelle, hypoténuse) et BC = 1,4 m (distance au mur). On cherche AB (la hauteur).
- Rédaction : Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore direct :
$AB^2 + BC^2 = AC^2$ - Calcul :
$AB^2 + 1.4^2 = 5^2$
$AB^2 + 1.96 = 25$
$AB^2 = 25 - 1.96 = 23.04$ - Conclusion : $AB = \sqrt{23.04} = 4.8$.
L'échelle atteint une hauteur de 4,8 mètres sur le mur.
Énoncé : On a un pavé droit (boîte rectangulaire) ABCDEFGH avec les dimensions suivantes : Longueur AB = 12 cm, largeur BC = 9 cm, et hauteur AE = 8 cm. Calculez la longueur de la grande diagonale [AG] qui traverse l'intérieur de la boîte.
Solution détaillée :
- Analyse : La diagonale [AG] est l'hypoténuse du triangle ACG, qui est rectangle en C. Mais on ne connaît pas la longueur de [AC]. On doit d'abord la calculer.
- Étape 1 : Calcul de AC.
[AC] est la diagonale de la base ABCD. Le triangle ABC est rectangle en B. Donc, d'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.
Donc $AC = \sqrt{225} = 15$ cm. - Étape 2 : Calcul de AG.
Maintenant, on considère le triangle ACG. Il est rectangle en C (car le pavé est droit). On peut donc appliquer Pythagore à nouveau :
$AG^2 = AC^2 + CG^2$. On sait que CG = AE = 8 cm.
$AG^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$. - Conclusion : $AG = \sqrt{289} = 17$.
La longueur de la grande diagonale [AG] est de 17 cm.
