Les 10 Exercices-Types à Maîtriser Absolument Avant Chaque Devoir Surveillé
De l'application directe à la synthèse complexe, voici votre checklist ultime pour la réussite.
En tant qu'enseignant, j'ai vu des milliers de copies de devoirs surveillés. Une chose est claire : la différence entre une note moyenne et une excellente note ne se joue pas toujours sur la compréhension du cours, mais sur la maîtrise des exercices-types. Se contenter de relire ses leçons est une illusion ; la véritable préparation consiste à confronter activement son cerveau aux types de problèmes qui reviennent systématiquement. Un élève qui a résolu activement une dizaine d'exercices ciblés aura toujours un avantage sur celui qui a relu passivement son cours pendant des heures.
Cet article n'est pas une simple liste. C'est votre programme d'entraînement intensif. Pour chaque niveau, du collège au bac, nous avons sélectionné des exercices qui incarnent les compétences fondamentales que tout professeur évalue. Si vous pouvez résoudre ces exercices sans aide, vous êtes prêt. Pour des stratégies de révision plus globales, consultez notre guide de préparation aux devoirs surveillés.
La Checklist : Êtes-vous Vraiment Prêt Pour le Devoir ?
Avant de vous lancer, auto-évaluez-vous. Un élève bien préparé peut répondre "oui" à la majorité de ces questions :
J'ai relu le résumé du cours et je comprends chaque définition et théorème. J'ai mémorisé les formules clés à l'aide de flashcards. J'ai résolu au moins 5 exercices d'application directe pour chaque leçon. J'ai tenté de résoudre au moins un problème plus complexe (analyse ou synthèse). J'ai analysé mes erreurs passées pour ne pas les répéter. Je me suis entraîné une fois dans des conditions chronométrées avec l'outil d'entraînement aux devoirs.
Les Types d'Exercices par Niveau Scolaire
| Niveau | Exercices d'Application | Exercices d'Analyse | Exercices de Synthèse |
|---|---|---|---|
| 1ère et 2ème APIC | Calculs directs, application d'une seule propriété (ex: calculer une somme de fractions). | Problèmes simples en 2-3 étapes (ex: utiliser Pythagore PUIS calculer le cosinus). | Rare. Petites énigmes géométriques simples. |
| 3ème APIC | Développement d'identités remarquables, résolution d'équation simple. | Problèmes combinant Thalès et Pythagore, systèmes d'équations. | Démonstrations géométriques nécessitant plusieurs étapes (ex: concours des droites). |
| Tronc Commun | Calculs de limites, dérivées de fonctions simples, produit scalaire. | Étude de la position relative de deux droites, variations d'une fonction simple. | Problèmes d'optimisation (valeur maximale/minimale). |
| 1ère et 2ème BAC | Calcul de dérivées complexes, intégrales simples. | Étude de fonction complète, probabilités conditionnelles. | Problèmes de synthèse combinant analyse et géométrie (ex: calcul d'aire). |
10 Exercices-Types pour une Préparation Complète
Énoncé : Calculez l'expression suivante : $A = -8 + (5 - 12) \times (-2)$
Énoncé : Développez et réduisez l'expression : $B = 3(2x - 5) - (x - 4)(x + 1)$
Voir la solution détaillée
- Étape 1 : Développer chaque partie. On distribue le 3, et on applique la double distributivité sur la deuxième partie en gardant les parenthèses car il y a un signe "moins" devant.
$B = (6x - 15) - (x^2 + x - 4x - 4)$ - Étape 2 : Simplifier à l'intérieur des parenthèses.
$B = (6x - 15) - (x^2 - 3x - 4)$ - Étape 3 : Supprimer les parenthèses en changeant les signes. C'est l'étape cruciale.
$B = 6x - 15 - x^2 + 3x + 4$ - Étape 4 : Regrouper les termes semblables.
$B = -x^2 + 9x - 11$
Énoncé : Soit RST un triangle rectangle en R, avec $ST = 13$ cm et $RS = 5$ cm. Calculez la longueur RT. Pour plus d'exemples, consultez notre article sur Pythagore.
Énoncé : Soit ABC un triangle. Construire le point D tel que $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}$. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifiez.
Énoncé : On considère l'expression $C = (2\sqrt{3} - 1)^2 - 8$.
1) Développez et simplifiez C.
2) Factorisez C.
Voir la solution détaillée
- 1) Développement : On utilise $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a=2\sqrt{3}$ et $b=1$.
$C = ((2\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(1) + 1^2) - 8$
$C = (4 \times 3 - 4\sqrt{3} + 1) - 8$
$C = (13 - 4\sqrt{3}) - 8$
$C = 5 - 4\sqrt{3}$ - 2) Factorisation : On reconnaît une forme $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$. Ici $A = (2\sqrt{3}-1)$ et $B^2 = 8$, donc $B=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
$C = [(2\sqrt{3}-1) - 2\sqrt{2}][(2\sqrt{3}-1) + 2\sqrt{2}]$
$C = (2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 1)(2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} - 1)$
Énoncé : Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(2, 3)$, $B(4, 7)$ et $C(-1, -7)$.
1) Déterminez l'équation réduite de la droite (AB).
2) Le point C appartient-il à la droite (AB) ? Justifiez.
Énoncé : Soit le polynôme $P(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 3$.
1) Vérifiez que 3 est une racine de P(x).
2) Factorisez P(x).
Énoncé : Soit la fonction $f(x) = x^3 - 3x + 2$.
1) Calculez la dérivée $f'(x)$.
2) Étudiez le signe de $f'(x)$ et dressez le tableau de variations de $f$.
Énoncé : On considère le nombre complexe $z = 1 + i\sqrt{3}$.
1) Écrivez $z$ sous forme trigonométrique.
2) Calculez $z^{2024}$.
Voir la solution détaillée
- 1) Forme trigonométrique :
Module : $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.
Argument : $z = 2 (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$. On cherche $\theta$ tel que $\cos(\theta) = \frac{1}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. C'est $\theta = \frac{\pi}{3}$.
Donc, $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$ ou $z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$. - 2) Calcul de $z^{2024}$ : On utilise la formule de Moivre.
$z^{2024} = [2e^{i\frac{\pi}{3}}]^{2024} = 2^{2024} \times e^{i\frac{2024\pi}{3}}$.
On simplifie l'angle : $\frac{2024\pi}{3} = \frac{(2022+2)\pi}{3} = \frac{2022\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 674\pi + \frac{2\pi}{3}$.
L'argument est donc congru à $\frac{2\pi}{3}$ modulo $2\pi$.
$z^{2024} = 2^{2024} e^{i\frac{2\pi}{3}} = 2^{2024}(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) = 2^{2024}(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$.
$z^{2024} = -2^{2023} + i \cdot 2^{2023}\sqrt{3}$.
Énoncé : Calculez l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 x e^x dx$.
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