Exercices de Probabilités au Bac : Le Guide Complet pour Ne Plus Jamais se Tromper
De l'analyse de l'énoncé au calcul final : la méthodologie pour sécuriser vos points à l'examen national.
Les exercices de probabilités au baccalauréat sont une source de stress pour de nombreux élèves. Pourtant, ce chapitre, qui représente généralement 3 points à l'examen national, est l'un des plus méthodiques qui soient. La quasi-totalité des erreurs ne proviennent pas de calculs complexes, mais d'une mauvaise interprétation initiale de l'énoncé. Dans ce guide complet, nous allons décortiquer la logique des problèmes de probabilités, analyser les erreurs "fatales" à éviter, et fournir une méthodologie de résolution infaillible.
1. La Règle d'Or : Identifier le Type de Tirage
Avant d'écrire le moindre calcul, vous devez répondre à une question fondamentale : Comment tire-t-on les boules de l'urne ? La réponse à cette question détermine l'outil mathématique que vous utiliserez pour tout l'exercice. Une erreur ici invalide toutes vos réponses ultérieures. Pour approfondir, consultez nos résumés de cours du baccalauréat.
| Type de Tirage | Mots Clés dans l'Énoncé | L'Ordre Compte ? | Outil de Dénombrement |
|---|---|---|---|
| Simultané | "On tire simultanément 3 boules" | NON | $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ |
| Successif sans remise | "On tire successivement et sans remise 3 boules" | OUI | $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ |
| Successif avec remise | "On tire successivement et avec remise 3 boules" | OUI | $n^p$ |
2. Exercices Résolus en Détail : Le Même Problème, Deux Mondes
Considérons une urne contenant 5 boules rouges (R) et 4 boules vertes (V), indiscernables au toucher. On tire 3 boules de l'urne.
Exercice 1 : Tirage Successif SANS Remise
Question : Calculer la probabilité de tirer 3 boules rouges.
- Analyse : Le tirage est "successif sans remise". L'ordre compte. On utilise donc les Arrangements ($A_n^p$).
- Calcul de Card(Ω) : On tire 3 boules parmi 9 au total. $\text{Card}(\Omega) = A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.
- Calcul de Card(A) : L'événement A est "Tirer 3 boules rouges". On tire 3 rouges parmi les 5 disponibles. $\text{Card}(A) = A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
- Calcul de la Probabilité : $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{60}{504} = \frac{5}{42}$.
Solution alternative avec l'arbre de probabilités :
$P(\text{Tirer 3 rouges}) = P(R1 \cap R2 \cap R3) = P(R1) \times P(R2|R1) \times P(R3|R1 \cap R2)$
$P(A) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{60}{504} = \frac{5}{42}$. Les deux méthodes donnent le même résultat.
Exercice 2 : Tirage Simultané
Question : Calculer la probabilité de tirer 3 boules rouges.
- Analyse : Le tirage est "simultané". L'ordre ne compte pas. On utilise donc les Combinaisons ($C_n^p$).
- Calcul de Card(Ω) : On tire 3 boules parmi 9. $\text{Card}(\Omega) = C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
- Calcul de Card(A) : L'événement A est "Tirer 3 boules rouges". On tire 3 rouges parmi 5. $\text{Card}(A) = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
- Calcul de la Probabilité : $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$.
Observation cruciale : La probabilité finale est la même ! C'est logique, car la nature de l'événement (obtenir 3 boules rouges) ne dépend pas de l'ordre. Cependant, la méthode de calcul est radicalement différente. Utiliser le mauvais outil vous donnera un résultat faux pour des événements plus complexes. Pour plus de détails sur la résolution de problèmes, lisez notre article sur comment résoudre l'exercice 4 de l'examen national.
3. Les Erreurs "Fatales" en Probabilités
Les Pièges Classiques à Éviter
-
Confondre "et" (intersection) avec "ou" (union) :
- "Tirer une boule rouge ET une boule verte" utilise une multiplication. $C_5^1 \times C_4^1$.
- "Tirer une boule qui est soit rouge, soit verte" utilise une addition (dans le cas d'événements incompatibles). -
Oublier les combinaisons dans les tirages complexes :
Si on tire 3 boules et on veut "exactement 2 rouges", on doit choisir 2 rouges PARMI les 5 rouges, ET 1 non-rouge PARMI les 4 non-rouges. Le calcul est $C_5^2 \times C_4^1$. Une erreur fréquente est de ne calculer que $C_5^2$. -
Mal utiliser la probabilité conditionnelle :
La formule $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ n'est vraie que si A et B sont indépendants. Si les événements ne sont pas indépendants (comme dans un tirage sans remise), il faut utiliser $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$. -
Confondre "Au moins un" et "Exactement un" :
"Tirer au moins une boule rouge" signifie en tirer 1, 2, ou 3. Il est souvent plus simple de calculer l'événement contraire ("ne tirer aucune boule rouge") et de faire $1 - P(\text{aucune rouge})$. Apprenez à mieux corriger vos exercices pour éviter ces erreurs.
4. Le Tableau de Synthèse d'une Variable Aléatoire
Une fois que vous avez calculé les probabilités de chaque issue, vous devez les présenter dans une loi de probabilité. C'est aussi un endroit où des points peuvent être perdus si la présentation n'est pas claire.
| $x_i$ (valeurs de X) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\frac{4}{84}$ | $\frac{40}{84}$ | $\frac{30}{84}$ | $\frac{10}{84}$ |
Vérification essentielle : La somme des probabilités doit toujours être égale à 1. $\frac{4+40+30+10}{84} = \frac{84}{84} = 1$.
Conclusion : La Rigueur est votre Meilleure Arme
Réussir l'exercice de probabilités est avant tout une question de méthode et de rigueur. Prenez le temps de lire et d'analyser l'énoncé. Une fois le type de tirage identifié, le reste n'est souvent qu'une application technique des formules de dénombrement. Pour vous entraîner, n'hésitez pas à utiliser les outils de la plateforme comme les séries d'exercices ou les simulations d'examen national.
