Méthodologie Complète pour Résoudre l'Exercice d'Analyse (type Ex. 4) de l'Examen National
De l'étude de fonction au calcul intégral : le guide détaillé pour sécuriser vos points.
L'exercice d'analyse, souvent numéroté 3 ou 4 dans les sujets du baccalauréat marocain (Sciences Mathématiques), est la pièce maîtresse de l'épreuve de mathématiques. Représentant une part substantielle des points (généralement entre 7 et 11 points), sa maîtrise est non seulement cruciale pour la note finale, mais elle est aussi un excellent indicateur de votre maturité mathématique. Cet exercice n'est pas une simple succession de questions ; c'est un problème structuré qui teste votre capacité à lier différents chapitres de l'analyse. Dans ce guide, nous allons décortiquer un exercice type, question par question, en vous donnant non seulement la solution, mais aussi la méthodologie, les points alloués, les erreurs à éviter, et des conseils stratégiques pour le jour J.
L'Importance Stratégique
Historiquement, l'étude de fonctions et le calcul intégral représentent la majorité des points de l'épreuve d'analyse. Une maîtrise parfaite de cette section peut vous assurer une note supérieure à la moyenne avant même d'aborder les autres exercices. Pour une révision complète, consultez nos résumés de cours du baccalauréat.
Le Problème Type (Exemple Inspiré des Examens Nationaux)
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x+1)^2 e^{-x}$. On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Partie 1 : Étude de la fonction $f$
- Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter géométriquement le résultat. (0.75 pt)
- Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et étudier la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$. (0.75 pt)
-
a) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = (1-x^2)e^{-x}$. (1 pt)
b) Dresser le tableau de variations complet de $f$. (0.75 pt) -
a) Calculer $f''(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et étudier la concavité de $(C_f)$. (0.75 pt)
b) Déterminer les coordonnées des points d'inflexion de $(C_f)$. (0.5 pt) - Tracer la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$. (1 pt)
Partie 2 : Calcul intégral
- En utilisant une intégration par parties, montrer que $\int_{-1}^{1} (x+1)e^{-x} dx = 2 - \frac{4}{e}$. (0.75 pt)
- Calculer, en cm², l'aire du domaine plan délimité par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=-1$ et $x=1$. (On pourra poser $x+1=t$ et utiliser une deuxième intégration par parties). (1.25 pt)
Les Pré-requis : Votre Boîte à Outils
- Limites : Formes indéterminées, limites usuelles ($e^x/x^n$ en $+\infty$).
- Dérivation : Dérivée d'un produit, d'une composée. Lien entre signe de la dérivée et variations.
- Concavité : Lien entre signe de la dérivée seconde et concavité/points d'inflexion.
- Intégration par parties : Formule $\int u'v = [uv] - \int uv'$. Pour plus d'exemples, découvrez comment résoudre les exercices de probabilité.
Solution Détaillée et Méthodologie
Partie 1, Question 1 : Limite en $+\infty$
Calcul : On a $\lim_{x \to +\infty} (x+1)^2 = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$. On a une forme indéterminée du type "$0 \times \infty$".
On développe : $f(x) = (x^2 + 2x + 1)e^{-x} = x^2e^{-x} + 2xe^{-x} + e^{-x}$.
D'après les limites usuelles de croissance comparée, on sait que pour tout $n>0$, $\lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$.
Donc, $\lim_{x \to +\infty} x^2e^{-x} = 0$, $\lim_{x \to +\infty} 2xe^{-x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.
Par somme des limites, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
Interprétation géométrique : La droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
Partie 1, Question 2 : Limite en $-\infty$
Calcul de la limite :
On a $\lim_{x \to -\infty} (x+1)^2 = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = \lim_{t \to +\infty} e^t = +\infty$.
Par produit de limites, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
Étude de la branche infinie : Puisque la limite est infinie, on calcule $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$.
$\frac{f(x)}{x} = \frac{(x+1)^2 e^{-x}}{x} = (x+2+\frac{1}{x})e^{-x}$.
On a $\lim_{x \to -\infty} (x+2+\frac{1}{x}) = -\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty$.
Par produit, $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty$.
Interprétation géométrique : La courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de $-\infty$.
Partie 1, Question 3 : Dérivée et variations
a) Calcul de la dérivée :
On utilise la formule de la dérivée d'un produit $(uv)'=u'v+uv'$.
$u(x)=(x+1)^2 \implies u'(x)=2(x+1)$.
$v(x)=e^{-x} \implies v'(x)=-e^{-x}$.
$f'(x) = 2(x+1)e^{-x} + (x+1)^2(-e^{-x})$
On factorise par $(x+1)e^{-x}$ :
$f'(x) = (x+1)e^{-x} [2 - (x+1)] = (x+1)e^{-x}(1-x)$.
$f'(x) = (x+1)(1-x)e^{-x} = (1-x^2)e^{-x}$.
b) Tableau de variations :
Le signe de $f'(x)$ est celui de $(1-x^2)$ car $e^{-x} > 0$ pour tout $x$.
$1-x^2$ est un trinôme du second degré qui s'annule en $x=-1$ et $x=1$. Il est négatif à l'extérieur des racines et positif entre les racines.
Tableau :
- Sur $]-\infty, -1]$, $f'(x) \le 0$, donc $f$ est décroissante.
- Sur $[-1, 1]$, $f'(x) \ge 0$, donc $f$ est croissante.
- Sur $[1, +\infty[$, $f'(x) \le 0$, donc $f$ est décroissante.
Minimum local en $x=-1$ : $f(-1)=0$. Maximum local en $x=1$ : $f(1) = 4e^{-1} = \frac{4}{e} \approx 1.47$.
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