تألق في الأولى باك علوم رياضية (1BAC SM)

Contenu du Programme

• Les propositions ; opérations sur les propositions ; fonctions propositionnelles ; les quantificateurs ; les propositions quantifiées ; les lois logiques ;
• Les raisonnements mathématiques : raisonnement par l'absurde ; raisonnement par contraposée ; raisonnement par disjonction des cas ; raisonnement par équivalences successives ; raisonnement par récurrence.

Contenu du Programme

1. Les Ensembles :

• Détermination d'un ensemble en compréhension et en extension ; partie d'un ensemble ;
• Ensemble des parties d'un ensemble ; la notation $P(E)$ ;
• Inclusion ; égalité ; complémentaire ;
• Intersection, réunion et différence de deux ensembles, lois de De Morgan ;
• Propriétés de l'intersection et de la réunion ;
• Produit cartésien de deux ensembles.

2. Les Applications :

• Égalité de deux applications ;
• Image directe et image réciproque d'une partie par une application ;
• Application injective, application surjective ; application bijective, application réciproque d'une bijection ;
• Composée de deux applications ;
• Restriction et prolongement d'une application.

Contenu du Programme

• Fonction majorée, fonction minorée ; fonction bornée ; fonction périodique ;
• Comparaison de deux fonctions ; interprétation géométrique ;
• Extrema d'une fonction ;
• Monotonie d'une fonction numérique ;
• Composée de deux fonctions numériques ;
• Monotonie de la composée de deux fonctions monotones ;
• Représentation graphique des fonctions : $x \mapsto \sqrt{x+a}$, $x \mapsto ax^3$ et $x \mapsto E(x)$.

Contenu du Programme

• Les suites numériques ;
• Suite récurrente ;
• Suites majorées, suites minorées, suites bornées ;
• Monotonie d'une suite ;
• Les suites arithmétiques ;
• Les suites géométriques.

Contenu du Programme

• Barycentre de $n$ points ($2 \le n \le 4$) ; centre de gravité ;
• Propriété fondamentale du barycentre ; invariance ; associativité ;
• Coordonnées du barycentre dans un repère donné.

Contenu du Programme

2.1 Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé :

• Expression analytique de la norme d'un vecteur et de la distance entre deux points ;
• Expression de $\cos \theta$ et $\sin \theta$ ;
• Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire.

2.2 La droite dans le plan (étude analytique) :

• Vecteur normal à une droite ;
• Équation cartésienne d'une droite définie par un point et un vecteur normal ;
• Distance d'un point à une droite.

2.3 Le cercle (étude analytique) :

• Équation cartésienne d'un cercle ;
• Représentation paramétrique d'un cercle ;
• Étude de l'ensemble des points : $\{ M(x,y) \mid x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \}$ ;
• Étude des positions relatives d'un cercle et d'une droite ;
• Équation cartésienne de la tangente à un cercle en un point donné du cercle.

Contenu du Programme

• Formules de transformation ;
• Transformation de l'expression $a \cos x + b \sin x$.

Contenu du Programme

• Définition de la rotation ; rotation réciproque ; décomposition d'une rotation en la composée de deux symétries orthogonales ;
• Propriétés : conservation de la distance, de la mesure d'un angle orienté, du barycentre, de l'alignement, du parallélisme et de l'orthogonalité ;
• Image d'une droite, d'un segment, d'un cercle, d'un angle, et de l'intersection de deux figures par une rotation ;
• Composée de deux rotations.

Contenu du Programme

• Limite finie en un point ; limite infinie en un point ;
• Limite finie en $+\infty$ et $-\infty$ ; limite infinie en $+\infty$ et $-\infty$ ;
• Limite à droite ; limite à gauche ;
• Opérations sur les limites ;
• Limites des fonctions polynômes et des fonctions rationnelles ; limite des fonctions de la forme $\sqrt{f}$ où $f$ est une fonction usuelle ;
• Les limites : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$, $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ et $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x}$ ;
• Limites et ordre.

Contenu du Programme

• Dérivabilité d'une fonction en un point ; le nombre dérivé ; interprétation géométrique et tangente à une courbe ; approximation affine d'une fonction dérivable en un point ;
• Dérivabilité à droite ; dérivabilité à gauche ; interprétation géométrique et demi-tangente ; tangente ou demi-tangente verticale ; point anguleux ;
• Dérivabilité sur un intervalle ; la dérivée première ; la dérivée seconde ; les dérivées successives ;
• Dérivée des fonctions $f+g$, $\lambda f$, $fg$, $\frac{1}{f}$, $\frac{f}{g}$, $f^n$ ($n \in \mathbb{Z}$), $f(ax+b)$, $\sqrt{f}$ ;
• Équation différentielle : $y'' + \omega^2 y = 0$.

Contenu du Programme

• Branches infinies : droites asymptotes ; directions asymptotiques ;
• Points d'inflexion ; concavité de la courbe d'une fonction ;
• Éléments de symétrie de la courbe d'une fonction.

Contenu du Programme

• Ensemble fini ; cardinal d'un ensemble fini ; notation $card$ ;
• Principe fondamental du dénombrement, cardinal d'un produit cartésien ;
• Cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble fini vers un ensemble fini ;
• Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini ;
• Cardinal de la réunion et de l'intersection de deux ensembles finis ;
• Nombre d'arrangements ; notation $A_n^p$ ;
• Nombre de permutations ; notation $n!$ ;
• Nombre de combinaisons ; notation $C_n^p$ ;
• Propriétés des nombres $C_n^p$ ;
• Formule du binôme de Newton.

Contenu du Programme

• La division euclidienne et ses propriétés ;
• Les nombres premiers ; décomposition en produit de facteurs premiers ;
• Le plus petit commun multiple ($ppcm(a,b)$ ; $a \vee b$) ; le plus grand commun diviseur ($pgcd(a,b)$ ; $a \wedge b$) ; propriétés ;
• Algorithme d'Euclide ;
• La congruence modulo $n$ ; l'ensemble $\frac{\mathbb{Z}}{n\mathbb{Z}}$ et les opérations.

Contenu du Programme

• Calcul vectoriel dans l'espace ;
• Vecteurs colinéaires ; définition vectorielle d'une droite ; définition vectorielle d'un plan ;
• Vecteurs coplanaires.

Contenu du Programme

• Coordonnées d'un point dans un repère ; coordonnées d'un vecteur dans une base ; coordonnées de $\vec{u} + \vec{v}$ ; coordonnées de $\lambda \vec{u}$ ; coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ;
• Déterminant de trois vecteurs ;
• Représentation paramétrique d'une droite ; positions relatives de deux droites ;
• Représentation paramétrique d'un plan ;
• Équation cartésienne d'un plan ; positions relatives de deux plans ;
• Deux équations cartésiennes d'une droite ;
• Positions relatives d'une droite et d'un plan.

Contenu du Programme

1. Le produit scalaire dans l'espace :

• Définition ;
• Propriétés : symétrie ; bilinéarité ;
• Orthogonalité de deux vecteurs ;
• Repère et base orthonormés ;
• Expression analytique du produit scalaire, de la norme d'un vecteur et de la distance entre deux points.

2. Applications du produit scalaire dans l'espace :

• Détermination analytique de l'ensemble $\{ M \in E \mid \vec{u} \cdot \overrightarrow{AM} = k \}$ ;
• Vecteur normal à un plan ;
• Équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal ;
• Distance d'un point à un plan ;
• Étude analytique de la sphère ;
• Étude de l'ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que : $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$ ;
• Intersection d'une sphère et d'un plan ; plan tangent à une sphère en un point donné ; intersection d'une sphère et d'une droite ;
• Applications dans la résolution de problèmes géométriques.

Contenu du Programme

• Orientation de l'espace ; le trièdre ; repère et base orientés ;
• Définition géométrique du produit vectoriel et interprétation de sa norme ;
• Propriétés : l'antisymétrie ; la bilinéarité ;
• Coordonnées du produit vectoriel de deux vecteurs par rapport à une base orthonormée directe ;
• Distance d'un point à une droite.